KATA PENGANTAR
Hamdan
wasyukran Lillah, shalatan
wassalaman’Ala Rasulilah, dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat allah
SWT, atas limpahan taufik hidayah dan rahmatnya sehingga penyusun dapat
menyelesaikan penulisan makalah “teori antrian“ untuk kita pelajari
dan kita diskusikan bersama
semoga
makalah ini dapat bermanfaat buat kita pelajari bersama, dan kami menyadari
bahwa dalam penyusunan makalah ini masih sangat banyak kekurangan, maupun
hal-hal lain yang berknaan masih terdapat kelemahan namun tetap diyakini akan
mendatangkan manfaat.
Semoga Allah
akan meridhai tujuan mlia kita bersama akan mencerdaskan kehidupan bangsa yang
di landasi oleh iman dan taqwa dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan
teknologi.
Memang teori
tersebut sangat diperlukan, tetapi agar matakuliah teori antrian tidak terkesan
angker. Maka makalah ini dibuat sedemikian rupa sehingga para pembaa merasa
nyaman memepelajarinya.
Mungkin masih
banyak hal yang berada di luar pengamatan penulis. Oleh karena itu kritik dan
saran dari pembaca masih sangat diperlukan.
MODEL ANTRIAN MULTI SERVER DENGAN POLA KEDATANGAN
BERKELOMPOK ( BATCH ARRIVAL )
Antrian dapat terjadi karena banyaknya customer
yang membutuhkan pelayanan melebihi kapasitas pelayanan. Pola kedatangan customer
ke dalam sistem antrian ada dua macam, yaitu customer datang secara
individu dan sekelompok customer yang datang secara bersamaan pada satu
waktu ke dalam sistem antrian. Pola kedatangan yang kedua ini disebut dengan batch/
bulk arrival. Pada skripsi ini akan dibahas tentang antrian dengan
pola kedatangan berkelompok, tujuannya untuk mengetahui ukuran keefektifan pada
sistem antrian ini.
Antrian yang akan dibahas adalah antrian dengan
pola kedatangan berkelompok yang memiliki satu server dengan satu garis
antrian yang melayani customer satu per satu. Pola kedatangan pada
antrian ini berdistribusi Poisson dan pola pelayanan berdistribusi Eksponensial
dengan disiplin antrian FIFO ( First In First Out ). Pada
pembahasan dilakukan penurunan formula untuk mendapatkan ukuran keefektifan
sistem antrian yang digunakan untuk menganalisis masalah antrian pada contoh
implementasi. Kemudian hasil analisis yang diperoleh dibandingkan dengan penyelesaian
menggunakan software WINQSB. Sebagai implementasi diberikan ilustrasi
kasus antrian pada perekaman Surat Pemberitahuan / SPT disuatu kantor pajak.
Sistem antrian pada kasus ini adalah beberapa berkas SPT yang telah disortir
lalu diserahkan sekaligus kepada seorang staf yang bertugas, kemudian SPT
direkam satu per satu. Model antrian satu server dengan pola kedatangan
berkelompok yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi
Eksponensial dinotasikan adalah variabel acak yang menyatakan ukuran kelompok.
Sebagai dasar untuk memperoleh ukuran keefektifan pada model antrian ini adalah
dengan menentukan probability generating function (PGF) dari banyaknya customer
dalam sistem_. Ukuran keefektifan pada model antrian ini antara lain: nilai
harapan banyaknya customer dalam sistem nilai harapan banyaknya customer
dalam antrian nilai harapan waktu tunggu customer dalam sistem dan
nilai harapan waktu tunggu customer dalam antrian Hasil analisis data
pada contoh implementasi model antrian ini baik menggunakan formula maupun software
WINQSB menunjukkan hasil yang sama.
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Manusia sebagai makhluk sosial, tidak akan
terlepas dari peran serta orang lain dalam kehidupan. Pada kondisi tertentu
manusia pasti membutuhkan jasa orang lain dalam memenuhi kebutuhan hidup, dan
untuk mendapatkannya terkadang mengharuskan untuk menunggu terlebih dulu. Hal
tersebut sangat mungkin terjadi, karena banyak orang yang membutuhkan jasa yang
sama dalam waktu yang bersamaan pula. Kondisi tersebut sering terlihat dalam
kehidupan sehari-sehari, seperti orang menunggu untuk mendapatkan tiket kereta
api, menunggu pesanan di rumah makan, mengantri di kasir sebuah swalayan, dan
mobil yang menunggu giliran untuk dicuci. Kenyataannya menunggu adalah bagian
dari kehidupan sehari-hari, dan yang dapat diharapkan adalah dapat mengurangi
ketidaknyamanan tersebut. Sesuatu yang sangat diharapkan adalah ketika dapat
memperoleh jasa tanpa harus menunggu terlalu lama. Individu – individu yang
menunggu (komponen, produk, kertas kerja, orang) bertujuan untuk mendapatkan
suatu layanan. Pada proses menunggu untuk mendapatkan layanan tersebut menimbulkan
suatu garis tunggu, dan pada garis tunggu tersebut dapat diprediksi
karakteristik – karakteristiknya.Sehingga dapat dijadikan dasar pengambilan
kepustusan agar tercapai kondisi yang lebih baik, misalnya agar tidak terjadi
antrian yang berkepanjangan.
Menurut Sinalungga (2008:238), Teori
antrian (Queueing Theory) merupakan studi probabilistik kejadian garis
tunggu (waiting lines), yakni suatu garis tunggu dari customer yang
memerlukan layanan dari sistem yang ada. Antrian terjadi karena adanya
keterbatasan sumber pelayanan, yang umumnya berkaitan dengan terbatasnya server
karena alasan ekonomi. Jika jumlah server yang disediakan terbatas,
memungkinkan terjadi antrian yang terlalu lama, sehingga orang dapat memutuskan
untuk meninggalkan antrian tersebut. Hal ini merupakan suatu kerugian bagi
pihak perusahaan, karena kehilangan customer. Agar tidak kehilangan customer,
maka pihak perusahaan harus menyediakan server yang mencukupi,
tetapi dilain pihak perusahaan harus mengeluarkan biaya yang lebih besar.
Menurut Wospakrik (1996:302), sistem
antrian adalah himpunancustomer, server beserta aturan yang
mengatur antara kedatangan customer dan pelayanannya. Salah satu
komponen dari sistem antrian adalah pola kedatangan customer. Tipe
kedatangan ada dua macam, yaitu customer tiba dalam sistem antrian
secara individu pada satu waktu dan sekelompok customer yang datang
bersamaan pada satu waktu. Dalam masalah antrian biasa diasumsikan bahwa customer
tiba di suatu fasilitas layanan secara individu. Namun asumsi tersebut
terbantahkan dalam beberapa situasi di dunia nyata, misalnya surat yang tiba di
kantor pos, orang-orang pergi ke rumah makan atau ke bioskop adalah beberapa
contoh keadaan dimana customer tidak datang sendiri – sendiri, tetapi
secara berkelompok dalam satu waktu. Tentu saja kondisi ini berbeda dengan antrian
yang kedatangannya secara individu, misalnya waktu tunggu customer, dan
kesibukan sistem tidak akan sama.Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai
antrian dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival). Penelusuran
rumus dimulai dengan menganalisis sistem antrian dengan satu server.
Menurut Dharma (2001:39), sistem ini banyak ditemui dalam sistem komunikasi.
Tujuan pembahasan ini untuk memperoleh beberapa karakteristik yang dapat
mengukur kinerja/keefektifan sistem antrian. Pada model antrian batch
arrival dengan satu server, diharapkan server mampu
mengakomodasi jumlah antrian unit yang lebih dari satu, yang masuk ke dalam
sistem antrian dalam waktu bersamaan. Sehingga diharapkan unit tidak menunggu
terlalu lama. Dengan demikian akan dibangun konstruksi model antrian yang
sesuai dengan kondisi tersebut.
A. RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang masalah maka permasalahan
dapat dirumuskan sebagai berikut:
1.
Bagaimana model dari sistem antrian satu server
dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?
2.
Bagaimana ukuran keefektifan dari model
antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?
3.
Bagaimana implementasi model antrian satu server
dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?
1..KARAKTERISTIK SISTIM ANTRIAN
Ada
tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :
1. Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling
population)
2. Antrian
3. Fasilitas pelayanan
Masing-masing
komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri.
Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah :
Karakteristik
Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan.
1. Kedatangan Populasi yang akan Dilayani
(calling population)
Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling
population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku
dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani
bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh
jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah
diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk
setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas
(infinte).
Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random).
Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan
produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk
untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya,
misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random)
banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang
sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat
ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu
antar kedatangan.
Contoh : Kedatangan digambarkan
dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi
yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode waktu
tertentu, dimana n = 0,1,2,.
Jika kedatangan
diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama
lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Simeon
Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti
kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching system,
kedatangan kendaraan di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan
dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3,
4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu toll bisa 3, 5, 8, dst.
Ciri
distribusi poisson:
1.
rata-rata
jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya
2.
bila
interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka
pernyataan ini benar
a.
probabilita
bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk
setiap interval
b.
probabilita
bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil
sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).
c.
Jumlah
pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent
d.
Jumlah
pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain.
λ = rata-rata
kedatangn persatuan waktu
Suatu
faktor yang mempengaruhi penilaian distribusi kedatangan adalah ukuran populasi
panggilan .
T = periode waktu
n =
jumlah kedatangan dalam waktu T
P (n,T) =
probabilitas n kedatangan dalam waktu T
P(T≤ t)
= probabilitas di mana waktu antar kedatangan T ≤ suatu waktu tertentu
λ =
rata - rata kedatangan persatuan waktu
t =
suatu waktu tertentu
Contoh
: jika seorang tukang reparasi sedang memperbaiki enam buah mesin, populasi
panggilan dibatasi sampai dengan enam buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin
bahwa kedatangan mengikuti distribusi Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan
tidak konstan. Jika lima buah mesin telah rusak, tingkat kedatangan lebih
rendah daripada bila seluruh mesin dalam keadaan operasi.
Perilaku
kedatangan.
Populasi yang akan dilayani mempunyai
perilaku yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada tiga jenis perilaku:
reneging, balking, dan jockeying. Reneging menggambarkan situasi dimana
seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian
meninggalkan antrian tersebut. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk
dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying menggambarkan
orang yang pindah-pindah antrian.
2. Antrian
Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga
tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam
kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan,
masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam
kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite line-length) dapat
menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh :
sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara,
kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain.
3. Fasilitas Pelayanan
Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga
hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin
antrian, waktu pelayanan.
Tata letak
Tata
letak fisik dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut
sebagai jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single
server) berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi
layanan serta satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur
tunggal tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem
antrian tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi
dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.
Sistem antrian jalur berganda satu tahap
(multi channel single server) adalah terdapat satu jenis layanan dalam sistem
antrian tersebut , namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan. Sedangkan
sistem antrian jalur berganda dengan tahapan berganda (multi channel, multi
server) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih dari satu jenis layanan dan
terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap jenis layanan.
Disiplin antrian
Disiplin antrian dikelompokkan menjadi dua, yaitu
preemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimana
pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang
diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Sementara
disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan
pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Sedangkan
disiplin first come first serve menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu
datang akan dilayani terlebih dahulu. Dalam kenyataannya sering dijumpai
kombinasi dari tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai
contoh, para pembeli yang akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian
kurang dari sepuluh jenis barang (dengan keranjang) di super market disediakan
counter tersendiri. Karakteristik waktu pelayanan. Waktu yang dibutuhkan untukdikategorikan
sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan
untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak,
jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan.
Jika waktu pelayanan acak, diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial. disiplin antrian .
MULTICHANNEL, MULTISERVER asi yaitu prioritas dan first come first serve.
Disiplin prioritas kedua jenis disiplin antrian k melayani bisa Fasilitas
pelayanan
2. PERILAKU BIAYA
Ada dua
jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang Dalam sistem antrian ada mengantri, dan di
sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena
orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu.
Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan
serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian
adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena
menambah fasilitas layanan.
B. TUJUAN
Dengan
mengacu pada latar belakang masalah dan rumusan masalah, maka tujuan dari
penulisan ini adalah:
1.
Menjelaskan tingkah laku dari model sistem
antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).
2.
Menjelaskan ukuran keefektifan dari model
antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).
3.
Menjelaskan implementasi model antrian satu
server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).
C. MANFAAT
Penulisan
tugas akhir ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:
1.
Bagi pembaca memberikan gambaran mengenai
model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch
arrival).
2.
Bagi perpustakaan jurusan pendidikan
matematika memberikan tambahan referensi tentang kajian teori antrian.
3.
Bagi instansi dapat dijadikan pertimbangan
sebagai dasar pengambilan keputusan dalam pengoptimalan server.
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diuraikan tentang dasar –
dasar yang diperlukan dalam pembahasan model antrian dengan pola kedatangan
berkelompok.Pembahasannya mencakup tentang model antrian dengan pola kedatangan
secara individu yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.
A. Proses Antrian
1.
Definisi Proses Antrian
Menurut Bronson (1996: 310), proses antrian
merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan customer pada suatu
fasilitas pelayanan, menunggu panggilan dalam baris antrian jika belum
mendapatpelayanan dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan setelah mendapat
pelayanan. Proses ini dimulai saat customer – customer yang memerlukan
pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut sebagai
sumber input. Menurut Hillier dan Lieberman (1980: 401), proses antrian adalah suatu
proses yang berhubungan dengan kedatangan customer ke suatu sistem
antrian, kemudian menunggu dalam antrian hingga pelayan memilih customer sesuai
dengan disiplin pelayanan, dan akhirnya customer meninggalkan sistem
antrian setelah selesai pelayanan. Sistem antrian adalah himpunan customer,
pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para customer dan
pelayanannya. Sistem antrian merupakan “ proses kelahiran – kematian “ dengan
suatu populasi yang terdiri atas para customer yang sedang menunggu pelayanan
atau yang sedang dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki
fasilitas pelayanan, sedangkan kematian terjadi jika customer meninggalkan
fasilitas pelayanan. Keadaan sistem adalah jumlah customer dalam suatu
fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996 :302) Gambar
Gambar 2.1 Sistem Antrian
1.
KOMPONEN DASAR DALAM PROSES ANTRIAN
Menurut Taha (1997:609), suatu sistem
antrian bergantung pada tujuh komponen yaitu pola kedatangan, pola kepergian,
kapasitas sistem, desain pelayanan, disiplin pelayanan, ukuran sumber
pemanggilan, dan perilaku manusia. Komponen – komponen tersebut diuraikan
sebagai berikut.
a. Pola Kedatangan
Menurut Wagner (1972:840), pola kedatangan
adalah pola pembentukan antrian akibat kedatangan customer dalam selang
waktu tertentu. Pola kedatangan dapat diketahui secara pasti atau berupa suatu
variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telahdiketahui. Jika tidak
disebutkan secara khusus customer datang secara individu ke dalam sistem
antrian. Namun dapat pula lebih dari satu customer datang secara
bersamaan ke dalam sistem antrian, pada kondisi ini disebut dengan bulk
arrival (Taha, 1997:177).
b. Pola Kepergian
Pola kepergian adalah banyak kepergian customer
selama periode waktu tertentu. Pola kepergian biasanya dicirikan oleh waktu
pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelayan untuk melayani
seorang customer. Waktu pelayanan dapat bersifat deterministik dan dapat
berupa suatu variabel acak dengan distribusi peluang tertentu (Bronson, 1996 :
310). Waktu pelayanan bersifat deterministik berarti bahwa waktu yang
dibutuhkan untuk melayani setiap customer selalu tetap, sedangkan waktu
pelayanan yang berupa variabel acak adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani
setiap customer berbeda – beda.
c. Kapasitas Sistem
Menurut Bronson (1996:310), kapasitas
sistem adalah banyak maksimum customer, baik customer yang sedang
berada dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang ditampung oleh fasilitas pelayanan
pada waktu yang sama. Suatu sistem antrian yang tidak membatasi banyak customer
dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas tak berhingga,
sedangkan suatu sistem yang membatasi banyak customer dalam fasilitas
pelayanannya disebut sistem berkapasitas berhingga, jika customer memasuki
sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka customer akan ditolak
dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.
d. Desain Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008:249), Desain
sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang
akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Channel menunjukkan
jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Phase berarti jumlah
stasiun stasiun pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum
pelayanan dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum
terjadi dalam seluruh sistem antrian: 1. Single Chanel – Single Phase Single
Chanel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk.memasuki sistem pelayanan
atau ada satu pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu
stasiun pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung
keluar dari sistem antrian. Contohnya antrian pada penjualan karcis
kereta api yang hanya dibuka satu loket.
Gambar
Gambar 2.2 Sistem Antrian Single Channel
– Single Phase
2.
Single Channel - Multi Phase
Multi phase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakn
secara berurutan dalam phase-phase. Misalnya pada antrian di laundry,
pakaian – pakaian setelah dicuci kemudian dijemur lalu disetrika dan terakhir
dikemas.
Gambar 2.3 Sistem Antrian Single Channel
- Multi phase
3.
Multi Chanel - Single Phase
Sistem multi chanel-single phase terjadi
jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh suatu antrian tunggal.
Sebagai contoh adalah Sarana pelayanan nasabah di Bank.
Gambar 2.4 Sistem Antrian Multi Chanel –
Single Phase
4.
Multi Chanel - Multi Phase
Sistem ini terjadi jika ada dua atau lebih
fasilitas pelayanan dengan pelayanannya lebih dari satu phase. Sebagai
contoh adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran,
diagnosa, tindakan medis sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai
beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu
individu dapat dilayani pada suatu waktu.
e. Disiplin Pelayanan
Menurut Sinalungga (2008: 251), disiplin
pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih customer dari
barisan antrian untuk segera dilayani. Adapun pembagian disiplin pelayanan ialah:
1.
First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO),
suatu peraturan dimana yang akan dilayani
ialah customer yang datang terlebih dahulu. Contohnya antrian di suatu
kasir sebuah swalayan.
2.
Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO)
merupakan antrian dimana yang datang paling
akhir adalah yang dilayani paling awal atau paling dahulu. Contohnya antrian
pada satu tumpukan barang digudang, barang yang terakhir masuk akan berada
ditumpukkan paling atas, sehingga akan diambil pertama.
3.
Service in random order (SIRO) atau pelayanan dalam urutan
acak atau sering dikenal juga random
selection for services (RSS), artinya pelayanan atau panggilan didasarkan
pada peluang secara random, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih
dahulu tiba. Contohnya kertas – kertas undian yang menunggu untuk
ditentukan pemenangnya, yang diambil secara acak.
4.
Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan
kepada mereka yang mempunyai prioritas
paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki prioritas paling rendah,
meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian
seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang keadaan
penyakit yang lebih berat dibanding dengan orang lain dalam sebuah rumah
sakit.
f.
Sumber Pemanggilan
Menurut Taha (1996:177), ukuran sumber
pemanggilan adalah banyaknya populasi yang membutuhkan pelayanan dalam suatu
sistem antrian. Ukuran sumber pemanggilan dapat terbatas maupun tak terbatas.
Sumber pemanggilan terbatas misalnya mahasiswa yang akan melakukan registrasi
ulang di suatu universitas, dimana jumlahnya sudah pasti. Sedangkan sumber pemanggilan
yang tak terbatas misalnya nasabah bank yang antri untuk menabung atau membuka rekening
baru, jumlahnya bisa tak terbatas.
g.
Perilaku Manusia
Perilaku manusia merupakan perilaku –
perilaku yang mempengaruhi suatu sistem antrian ketika manusia mempunyai peran dalam
sistem baik sebagai customer maupun pelayan. Jika manusia berperan
sebagai pelayan, dapat melayani customer dengan cepat atau lambat sesuai
kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu (Taha,
1996:178).Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam sistem
antrian jika berperan sebagai customer sebagai berikut. 1. Reneging mengGambarkan
situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan,
kemudian meninggalkan antrian tersebut.
Balking menggambarkan
orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying
mengGambarkan situasi jika dalam sistem ada dua atau lebih jalur antrian
maka orang dapat berpindah antrian dari jalur yang satu ke jalur yang lain.
A. Notasi Kendall
Notasi baku untuk memodelkan suatu sistem
antrian pertama kali dikemukakan oleh D.G.Kendall dikenal sebagainotasi
kendall. Namun, A.M. Lee menambahkan simbol menjadi yang disebut notasi
kendall-Lee (Taha, 1996:627).
B. Proses Kelahiran dan Kematian (Birth – Death
Processes)
Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu
sistem antrian merupakan proses kelahiran dan kematian (birth – death
processes). Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki sistem
antrian dan kematian terjadi jika seorang customer meninggalkan sistem
antrian tersebut.
C. Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson
1.
Distribusi Eksponensial
Distribusi Eksponensial digunakan untuk
mengGambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa, dimana waktu pelayanan
tersebut diasumsikan bersifat bebas. Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak
bergantung pada lama waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pendatang
sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang menunggu untuk
dilayani.( Djauhari, 1997:175-176 ).
2.
Distribusi Poisson
Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah
sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal
sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat berupa menit, hari,minggu,
bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas,
sisi, maupun material. ( Dimyati, 1999:309 ) Menurut Dimyati, (1999:309)
ciri-ciri eksperimen Poisson adalah :
a.
Banyaknya hasil percobaan yang terjadi
dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu bersifat independen
terhadap banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah
lain yang terpisah.
b.
Peluang terjadinya satu hasil percobaan
selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang
kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tesebut atau besarnya daerah
tersebut.
I. Ukuran Keefektifan Sistem Antrian
Menurut Taha (1997, 189:190), ukuran
keefektifan suatu sistem antrian dapat ditentukan setelah probabilitas steady
state diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan suatu sistem tersebut antara
lain:
1)
Nilai harapan banyaknya customer dalam
sistem antrian
2)
Nilai harapan banyaknya customer dalam
antrian
3)
Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem
antrian
4)
Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian
Sebelum membahas lebih lanjut, akan
diuraikan lima definisi yang mendukung pembahasan ukuran keefektifan suatu
sistem.Jumlah customer dalam sistem adalah jumlah customer dalam
antrian ditambah jumlah customer yang sedang mendapat layanan.Laju
kedatangan efektif merupakan laju kedatangan rata – rata dalam waktu yang
panjang. Laju kedatangan efektif dinotasikan .
Model Antrian (M/M/k)
Sebagai dasar dalam pembahasan model
antrian (M/M/k)akan dibahas terlebih dahulu model antrian (M/M/k)
1.
Solusi Steady-State untuk Model (M/M/k)
Sistem antrian (M/M/k)merupakan
model antrian satu sever dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan
waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Model ini merupakan model
tanpa batas.
kapasitas baik dari kapasitas sistem maupun
kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanannya bersifat FCFS, yaitu customer
yang datang pertama dilayani terlebih dahulu begitu seterusnya. Notasi
sistem antrian ini berdasarkan dengan notasi Kendall-Lee.Jika kedatangan customer
mengikuti distribusi Poisson dengan laju , maka dari asumsi (i) probability
sebuah kedatangan terjadi , dan berdasarkan asumsi (v).
BAB III
PEMBAHASAN
Dalam makalah ini akan dibahas tentang
keefektifan sistem antrian multiserver dengan pola kedatangan
berkelompok (batch arrival).
A. Pola Kedatangan Berkelompok ( Batch Arrival )
Sebagai contoh situasi pada sistem antrian
dimana customer dating secara berkelompok yaitu kedatangan customer secara
berkelompok disebuah restoran, dan surat – surat yang tiba di kantor pos.
Ilustrasi sistem antrian dengan pola kedatangan berkelompok ( batch arrival
) terlihat dalam
Pada sistem antrian ini customer datang
secara berkelompok dengan ukuran kelompok tersebut adalah _, dimana secara umum
_ adalah variable acak positif. Pada pembahasan ini, customer datang
berdasarkan distribusi Poisson dengan laju kedatangan , dan terdapat sebuah server
yang memiliki waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan laju
pelayanan , dimana customer dilayani secara individu dengan disiplin
antrian FIFO ( First In First Out ). Desain pelayanan pada sistem antrian
ini adalah Single Channel Single Phase. Notasi untuk model antrian satu server
dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival ) tersebut.
A.Proses Kedatangan dan Kepergian pada Sistem Antrian M/M/k
Pada sistem antrian dengan pola kedatangan
berkelompok ( batch arrival ), ukuran suatu kelompok yang masuk kedalam
suatu sistem antrian merupakan variabel acak positif _, dengan fungsi
peluang kedatangan suatu kelompok berukuran adalah Karena proses kedatangan pada sistem
antrian dengan pola kedatangan berkelompok mengikuti distribusi Poisson dengan
banyaknya kedatangan tiap satuan waktu. Dan setiap kedatangan tersebut
berukuran __, maka banyaknya kedatangan tiap satuan waktu pada sistem
antrian M/M/k ini adalah Laju transisi untuk sistem antrian M/M/k dapat
dilihat dalam
B. Solusi Steady state Model Antrian m/m/k
Kondisi steady state yaitu keadaan
sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal maupun waktu yang telah dilalui.
Jika suatu sistem antrian telah mencapai kondisi steady state maka
peluang terdapat * customer dalam sistem pada waktu t, yang dinotasikan
dengan m/m/k tidak tergantung pada waktu.
C. Ukuran Keefektifan Sistem Antrian m/m/k
Ukuran keefektifan suatu sistem antrian batch
arrival dapat ditentukan setelah PGF dari O diketahui. Ukuran – ukuran
keefektifan dari suatu sistem antrian tersebut adalah banyak customer dalam
sistem/ef, banyak customer yang menunggu dalam antrian/eg, waktu tunggu
setiap customer dalam 70 sistem/hf, waktu tunggu setiap customer dalam
antrian/hg, dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan/ij. Ukuran – ukuran
keefektifan tersebut dapat digunakan untuk menganalisis operasi situasi
antrian, yang dimaksudkan untuk pembuatan rekomendasi tentang rancangan sistem
tersebut.
1.
Nilai Harapan Banyak Customer dalam Sistem
Nilai harapan banyak customer dalam sistem antrian
merupakan jumlah keseluruhan dari perkalian customer dalam sistem dan probabilitasnya,
D. Implementasi
Agar lebih memahami tentang model antrian
m/m/k diberikan contoh penerapan soal sebagai berikut. Sebagai ilustrasi
penulis memberikan Gambaran penerapan model antrian pada situasi antrian yang
terjadi di sebuah kantor pajak. Data yang diolah adalah data yang dibangun
dengan software minitab yang distribusi kedatangannya memenuhi
distribusi Poisson dan waktu pelayanannya memenuhi distribusi Eksponensial.
Dengan rata – rata laju kedatangan
LATUHAN
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai
materi di atas, silakan anda menge erjakan latihan berikut ini ! .
1.
Sebutkan tiga k omponen yang terdapat dalam
sistem antrian?
2.
Jelaskan karakteristik dari setiap komponen
dalam sistem antrian
3.
Jelaskan jenis biaya dalam kaitannya dengan
sistem antrian.
4.
jelaskan perbedaan antara disiplin antrian,
prioritas yang preem dan non preemptive
5.
berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari
yang menggambarkan keempat desain sistem antrian
RANGKUMAN
Dalam sistem antrian terdapat tiga komponen
utama yaitu:kedatanga populasi yang akan dilayani, antrian, dan fasilitas
pelayanan. Setiap komponen memiliki karakteristik yang berbeda.
Desain tata letak dalam sistem antrian bias
dibedakan menjadi empat yaitu single channel single server, single channel
multi server, multi channel single server, dan multi channel multi server.
Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalakan
biaya total yang merupakan penjumlahan dari biaya yang timbul karena menunggu
dan biaya yang timbul karena menambah fasilitas layanan.
BAB IV
SIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Model antrian satu server dengan pola kedatangan
berkelompok ( batch arrival ) dinotasikan dengan m/m/k dengan X adalah variabel
acak yang menyatakan ukuran kelompok yang masuk ke dalam sistem antrian.
Model tersebut menggambarkan sistem antrian dengan pola kedatangan customer
secara berkelompok yang berdistribusi Poisson, dan pelayanan customer secara
individu dengan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Dasar untuk
menganalisis model antrian dengan pola kedatangan berkelompok adalah
dengan menentukan probability generating function ( PGF ) dari banyak customer
dalam sistem.
A. Saran
Dari hasil pengkajian model antrian multiserver dengan
pola kedatangan berkelompok dapat dikembangkan lebih lanjut sampai dengan tingkat
pengambilan keputusan, misalnya dengan model biaya. Selain itu juga dapat
dikembangkan model antrian dengan pola kedatangan berkelompok multi server,
serta variasi model m/m/k , m/m/k.k.k , g/m/k , m/g/k yang lain seperti model
antrian dengan pola pelayanan berkelompok (batch service), dan model
antrian dengan pola kedatangan dan pola pelayanan berkelompok (bulk queue),
serta model antrian dengan prioritas pelayanan, yang merupakan salah satu
bentukdari disiplin pelayanan.
DAFTAR PUSTAKA
1.
Bain, L, &
Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics.
California: Wadsworth Publishing Company.
2.
Barte, R. G, & Sherbert, D. R. (2000). Introduction
to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons.
3.
Bhat, N. U. (1984). Element of Applied
Stochastic Processes. 2nd. ed. New York: John Wiley & Sons.
4.
Bronson, R. (1996). Teori dan Soal-Soal
Operations Research. (Terjemahan Hans Wospakrik). Jakarta: Erlangga.
5.
Bunday, B. D. (1996). An Introduction to
Queuing Theory. New York: John Wiley & Sons.
6.
Chaudhury, M. L.(1983). A First Course
in Bulk Queue. New York: John Wiley & Sons.
7.
Cooper, R. B. (1981). Introduction to
Queuing Theory. 2nd. ed. New York: Eleseveir North Holland, Inc.
8.
Dharma, J. L. (2001). Model Antrian
MH/G/1. Bandung: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas
Katolik Parahyangan.
9.
Dimyati, A, &
Tarliyah, T. (1999). Operation Research “Model-Model Pengambilan Keputusan”.
Bandung: PT Sinar Baru Algesindo.
10. Djauhari, M. (1997). Statistika Matematika.
Bandung: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB.
11. Ecker, J, & Kupferschimd, M. (1988). Introduction
to Operation Research. New York: John Wiley & Sons.
12. Gross, D, & Harris, C. M. (1998). Fundamental of
Queuing Theory 3rd. New York: John Wiley & Sons.
13. Hadianti, R. (2006). Kapita Selekta Terapan I (Teori
Antrian). Bandung: ITB.Hillier, F.S, & Lieberman, G. J. (2005). Introduction
to Operations Research. New York: McGraw-Hill.
14. Hines, W. W, & Montgomery, D. C. (1990). Probability
and Statistics in Engineering and Management Science. New York: John Wiley
& Sons.
15. Hogg, R. V, & Tanis, E. A. (2001). Probability and
Statistical Inference. 6th. ed. New Jersey:
