Makalah Teori Antrian

KATA PENGANTAR

Hamdan wasyukran Lillah, shalatan wassalaman’Ala Rasulilah, dengan memanjatkan puji dan syukur kehadirat allah SWT, atas limpahan taufik hidayah dan rahmatnya sehingga penyusun dapat menyelesaikan penulisan makalah “teori antrian“ untuk kita pelajari dan kita diskusikan bersama

semoga makalah ini dapat bermanfaat buat kita pelajari bersama, dan kami menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih sangat banyak kekurangan, maupun hal-hal lain yang berknaan masih terdapat kelemahan namun tetap diyakini akan mendatangkan manfaat.

Semoga Allah akan meridhai tujuan mlia kita bersama akan mencerdaskan kehidupan bangsa yang di landasi oleh iman dan taqwa dengan perkembangan ilmu pengetahuan dan teknologi.

Memang teori tersebut sangat diperlukan, tetapi agar matakuliah teori antrian tidak terkesan angker. Maka makalah ini dibuat sedemikian rupa sehingga para pembaa merasa nyaman memepelajarinya.

Mungkin masih banyak hal yang berada di luar pengamatan penulis. Oleh karena itu kritik dan saran dari pembaca masih sangat diperlukan.

MODEL ANTRIAN MULTI SERVER DENGAN POLA KEDATANGAN

BERKELOMPOK ( BATCH ARRIVAL )

Antrian dapat terjadi karena banyaknya customer yang membutuhkan pelayanan melebihi kapasitas pelayanan. Pola kedatangan customer ke dalam sistem antrian ada dua macam, yaitu customer datang secara individu dan sekelompok customer yang datang secara bersamaan pada satu waktu ke dalam sistem antrian. Pola kedatangan yang kedua ini disebut dengan batch/ bulk arrival. Pada skripsi ini akan dibahas tentang antrian dengan pola kedatangan berkelompok, tujuannya untuk mengetahui ukuran keefektifan pada sistem antrian ini.

Antrian yang akan dibahas adalah antrian dengan pola kedatangan berkelompok yang memiliki satu server dengan satu garis antrian yang melayani customer satu per satu. Pola kedatangan pada antrian ini berdistribusi Poisson dan pola pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan disiplin antrian FIFO ( First In First Out ). Pada pembahasan dilakukan penurunan formula untuk mendapatkan ukuran keefektifan sistem antrian yang digunakan untuk menganalisis masalah antrian pada contoh implementasi. Kemudian hasil analisis yang diperoleh dibandingkan dengan penyelesaian menggunakan software WINQSB. Sebagai implementasi diberikan ilustrasi kasus antrian pada perekaman Surat Pemberitahuan / SPT disuatu kantor pajak. Sistem antrian pada kasus ini adalah beberapa berkas SPT yang telah disortir lalu diserahkan sekaligus kepada seorang staf yang bertugas, kemudian SPT direkam satu per satu. Model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dinotasikan adalah variabel acak yang menyatakan ukuran kelompok. Sebagai dasar untuk memperoleh ukuran keefektifan pada model antrian ini adalah dengan menentukan probability generating function (PGF) dari banyaknya customer dalam sistem_. Ukuran keefektifan pada model antrian ini antara lain: nilai harapan banyaknya customer dalam sistem nilai harapan banyaknya customer dalam antrian nilai harapan waktu tunggu customer dalam sistem dan nilai harapan waktu tunggu customer dalam antrian Hasil analisis data pada contoh implementasi model antrian ini baik menggunakan formula maupun software WINQSB menunjukkan hasil yang sama.

BAB I

PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG MASALAH

Manusia sebagai makhluk sosial, tidak akan terlepas dari peran serta orang lain dalam kehidupan. Pada kondisi tertentu manusia pasti membutuhkan jasa orang lain dalam memenuhi kebutuhan hidup, dan untuk mendapatkannya terkadang mengharuskan untuk menunggu terlebih dulu. Hal tersebut sangat mungkin terjadi, karena banyak orang yang membutuhkan jasa yang sama dalam waktu yang bersamaan pula. Kondisi tersebut sering terlihat dalam kehidupan sehari-sehari, seperti orang menunggu untuk mendapatkan tiket kereta api, menunggu pesanan di rumah makan, mengantri di kasir sebuah swalayan, dan mobil yang menunggu giliran untuk dicuci. Kenyataannya menunggu adalah bagian dari kehidupan sehari-hari, dan yang dapat diharapkan adalah dapat mengurangi ketidaknyamanan tersebut. Sesuatu yang sangat diharapkan adalah ketika dapat memperoleh jasa tanpa harus menunggu terlalu lama. Individu – individu yang menunggu (komponen, produk, kertas kerja, orang) bertujuan untuk mendapatkan suatu layanan. Pada proses menunggu untuk mendapatkan layanan tersebut menimbulkan suatu garis tunggu, dan pada garis tunggu tersebut dapat diprediksi karakteristik – karakteristiknya.Sehingga dapat dijadikan dasar pengambilan kepustusan agar tercapai kondisi yang lebih baik, misalnya agar tidak terjadi antrian yang berkepanjangan.

Menurut Sinalungga (2008:238), Teori antrian (Queueing Theory) merupakan studi probabilistik kejadian garis tunggu (waiting lines), yakni suatu garis tunggu dari customer yang memerlukan layanan dari sistem yang ada. Antrian terjadi karena adanya keterbatasan sumber pelayanan, yang umumnya berkaitan dengan terbatasnya server karena alasan ekonomi. Jika jumlah server yang disediakan terbatas, memungkinkan terjadi antrian yang terlalu lama, sehingga orang dapat memutuskan untuk meninggalkan antrian tersebut. Hal ini merupakan suatu kerugian bagi pihak perusahaan, karena kehilangan customer. Agar tidak kehilangan customer, maka pihak perusahaan harus menyediakan server yang mencukupi, tetapi dilain pihak perusahaan harus mengeluarkan biaya yang lebih besar.

Menurut Wospakrik (1996:302), sistem antrian adalah himpunancustomer, server beserta aturan yang mengatur antara kedatangan customer dan pelayanannya. Salah satu komponen dari sistem antrian adalah pola kedatangan customer. Tipe kedatangan ada dua macam, yaitu customer tiba dalam sistem antrian secara individu pada satu waktu dan sekelompok customer yang datang bersamaan pada satu waktu. Dalam masalah antrian biasa diasumsikan bahwa customer tiba di suatu fasilitas layanan secara individu. Namun asumsi tersebut terbantahkan dalam beberapa situasi di dunia nyata, misalnya surat yang tiba di kantor pos, orang-orang pergi ke rumah makan atau ke bioskop adalah beberapa contoh keadaan dimana customer tidak datang sendiri – sendiri, tetapi secara berkelompok dalam satu waktu. Tentu saja kondisi ini berbeda dengan antrian yang kedatangannya secara individu, misalnya waktu tunggu customer, dan kesibukan sistem tidak akan sama.Dalam tugas akhir ini akan dibahas mengenai antrian dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival). Penelusuran rumus dimulai dengan menganalisis sistem antrian dengan satu server. Menurut Dharma (2001:39), sistem ini banyak ditemui dalam sistem komunikasi. Tujuan pembahasan ini untuk memperoleh beberapa karakteristik yang dapat mengukur kinerja/keefektifan sistem antrian. Pada model antrian batch arrival dengan satu server, diharapkan server mampu mengakomodasi jumlah antrian unit yang lebih dari satu, yang masuk ke dalam sistem antrian dalam waktu bersamaan. Sehingga diharapkan unit tidak menunggu terlalu lama. Dengan demikian akan dibangun konstruksi model antrian yang sesuai dengan kondisi tersebut.

A. RUMUSAN MASALAH

Berdasarkan latar belakang masalah maka permasalahan dapat dirumuskan sebagai berikut:

1.      Bagaimana model dari sistem antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?

2.      Bagaimana ukuran keefektifan dari model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?

3.      Bagaimana implementasi model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival)?

1..KARAKTERISTIK SISTIM ANTRIAN

Ada tiga komponen dalam sistim antrian yaitu :

1.      Kedatangan , populasi yang akan dilayani (calling population)

2.      Antrian

3.      Fasilitas pelayanan

Masing-masing komponen dalam sistim antrian tersebut mempunyai karakteristik sendiri-sendiri. Karakteristik dari masing-masing komponen tersebut adalah :

Karakteristik Antrian adalah bahwa terdapat kedatangan, antrian, dan pelayanan.

1. Kedatangan Populasi yang akan Dilayani (calling population)

Karakteristik dari populasi yang akan dilayani (calling population) dapat dilihat menurut ukurannya, pola kedatangan, serta perilaku dari populasi yang akan dilayani. Menurut ukurannya, populasi yang akan dilayani bisa terbatas (finite) bisa juga tidak terbatas (infinite). Sebagai contoh jumlah mahasiswa yang antri untuk registrasi di sebuah perguruan tinggi sudah diketahui jumlahnya (finite), sedangkan jumlah nasabah bank yang antri untuk setor, menarik tabungan, maupun membuka rekening baru, bisa tak terbatas (infinte).

Pola kedatangan bisa teratur, bisa juga acak (random). Kedatangan yang teratur sering kita jumpai pada proses pembuatan/ pengemasan produk yang sudah distandardisasi. Pada proses semacam ini, kedatangan produk untuk diproses pada bagian selanjutnya biasanya sudah ditentukan waktunya, misalnya setiap 30 detik. Sedangkan pola kedatangan yang sifatnya acak (random) banyak kita jumpai misalnya kedatangan nasabah di bank. Pola kedatangan yang sifatnya acak dapat digambarkan dengan distribusi statistik dan dapat ditentukan dua cara yaitu kedatangan per satuan waktu dan distribusi waktu antar kedatangan.

Contoh : Kedatangan digambarkan dalam jumlah satu waktu, dan bila kedatangan terjadi secara acak, informasi yang penting adalah Probabilitas n kedatangan dalam periode waktu tertentu, dimana n = 0,1,2,.

Jika kedatangan diasumsikan terjadi dengan kecepatan rata-rata yang konstan dan bebas satu sama lain disebut distribusi probabilitas Poisson Ahli matematika dan fisika, Simeon Poisson (1781 – 1840), menemukan sejumlah aplikasi manajerial, seperti kedatangan pasien di RS, sambungan telepon melalui central switching system, kedatangan kendaraan di pintu toll, dll. Semua kedatangan tersebut digambarkan dengan variabel acak yang terputus-putus dan nonnegative integer (0, 1, 2, 3, 4, 5, dst). Selama 10 menit mobil yang antri di pintu toll bisa 3, 5, 8, dst.

Ciri distribusi poisson:

1.      rata-rata jumlah kedatangan setiap interval bisa diestimasi dari data sebelumnya

2.      bila interval waktu diperkecil misalnya dari 10 menit menjadi 5 menit, maka pernyataan ini benar

a.       probabilita bahwa seorang pasien datang merupakan angka yang sangat kecil dan konstan untuk setiap interval

b.      probabilita bahwa 2 atau lebih pasien akan datang dalam waktu interval sangat kecil sehingga probabilita untuk 2 atau lebih dikatakan nol (0).

c.       Jumlah pasien yang yang datang pada interval waktu bersifat independent

d.      Jumlah pasien yang datang pada satu interval tidak tergantung pada interval yang lain.

λ = rata-rata kedatangn persatuan waktu

Suatu faktor yang mempengaruhi penilaian distribusi kedatangan adalah ukuran populasi panggilan .

T           = periode waktu

n          = jumlah kedatangan dalam waktu T

P (n,T)             = probabilitas n kedatangan dalam waktu T

P(T≤ t) = probabilitas di mana waktu antar kedatangan T ≤ suatu waktu tertentu

λ          = rata - rata kedatangan persatuan waktu

t           = suatu waktu tertentu

Contoh : jika seorang tukang reparasi sedang memperbaiki enam buah mesin, populasi panggilan dibatasi sampai dengan enam buah mesin. Dalam hal ini tidak mungkin bahwa kedatangan mengikuti distribusi Poisson sebab tingkat kecepatan kerusakan tidak konstan. Jika lima buah mesin telah rusak, tingkat kedatangan lebih rendah daripada bila seluruh mesin dalam keadaan operasi.

Perilaku kedatangan.

Populasi yang akan dilayani mempunyai perilaku yang berbeda-beda dalam membentuk antrian. Ada tiga jenis perilaku: reneging, balking, dan jockeying. Reneging menggambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut. Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying menggambarkan orang yang pindah-pindah antrian.

2. Antrian

Batasan panjang antrian bisa terbatas (limited) bisa juga tidak terbatas (unlimited). Sebagai contoh antrian di jalan tol masuk dalam kategori panjang antrian yang tidak terbatas. Sementara antrian di rumah makan, masuk kategori panjang antrian yang terbatas karena keterbatasan tempat. Dalam kasus batasan panjang antrian yang tertentu (definite line-length) dapat menyebabkan penundaan kedatangan antrian bila batasan telah tercapai. Contoh : sejumlah tertentu pesawat pada landasan telah melebihi suatu kapasitas bandara, kedatangan pesawat yang baru dialihkan ke bandara yang lain.

3. Fasilitas Pelayanan

Karakteristik fasilitas pelayanan dapat dilihat dari tiga hal, yaitu tata letak (lay out) secara fisik dari sistem antrian, disiplin antrian, waktu pelayanan.

Tata letak

Tata letak fisik dari sistem antrian digambarkan dengan jumlah saluran, juga disebut sebagai jumlah pelayan. Sistem antrian jalur tunggal (single channel, single server) berarti bahwa dalam sistem antrian tersebut hanya terdapat satu pemberi layanan serta satu jenis layanan yang diberikan. Sementara sistem antrian jalur tunggal tahapan berganda (single channel multi server) berarti dalam sistem antrian tersebut terdapat lebih dari satu jenis layanan yang diberikan, tetapi dalam setiap jenis layanan hanya terdapat satu pemberi layanan.

Sistem antrian jalur berganda satu tahap (multi channel single server) adalah terdapat satu jenis layanan dalam sistem antrian tersebut , namun terdapat lebih dari satu pemberi layanan. Sedangkan sistem antrian jalur berganda dengan tahapan berganda (multi channel, multi server) adalah sistem antrian dimana terdapat lebih dari satu jenis layanan dan terdapat lebih dari satu pemberi layanan dalam setiap jenis layanan.

Disiplin antrian

Disiplin antrian dikelompokkan menjadi dua, yaitu preemptive dan non preemptive. Disiplin preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan sedang melayani seseorang, kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan meskipun belum selesai melayani orang sebelumnya. Sementara disiplin non preemptive menggambarkan situasi dimana pelayan akan menyelesaikan pelayanannya baru kemudian beralih melayani orang yang diprioritaskan. Sedangkan disiplin first come first serve menggambarkan bahwa orang yang lebih dahulu datang akan dilayani terlebih dahulu. Dalam kenyataannya sering dijumpai kombinasi dari tersebut. Yaitu prioritas dan first come first serve. Sebagai contoh, para pembeli yang akan melakukan pembayaran di kasir untuk pembelian kurang dari sepuluh jenis barang (dengan keranjang) di super market disediakan counter tersendiri. Karakteristik waktu pelayanan. Waktu yang dibutuhkan untukdikategorikan sebagai konstan dan acak. Waktu pelayanan konstan, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani sama untuk setiap pelanggan. Sedangkan waktu pelayanan acak, jika waktu yang dibutuhkan untuk melayani berbeda-beda untuk setiap pelanggan. Jika waktu pelayanan acak, diasumsikan mengikuti distribusi eksponensial. disiplin antrian . MULTICHANNEL, MULTISERVER asi yaitu prioritas dan first come first serve. Disiplin prioritas kedua jenis disiplin antrian k melayani bisa Fasilitas pelayanan

2. PERILAKU BIAYA

Ada  dua jenis biaya yang timbul. Yaitu biaya karena orang  Dalam sistem antrian ada mengantri, dan di sisi lain biaya karena menambah fasilitas layanan. Biaya yang terjadi karena orang mengantri, antara lain berupa waktu yang hilang karena menunggu. Sementara biaya menambah fasilitas layanan berupa penambahan fasilitas layanan serta gaji tenaga kerja yang memberi pelayanan. Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalkan biaya total, yaitu biaya karena mengantri dan biaya karena menambah fasilitas layanan.

B. TUJUAN

Dengan mengacu pada latar belakang masalah dan rumusan masalah, maka tujuan dari penulisan ini adalah:

1.                  Menjelaskan tingkah laku dari model sistem antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).

2.                  Menjelaskan ukuran keefektifan dari model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).

3.                  Menjelaskan implementasi model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).

C. MANFAAT

Penulisan tugas akhir ini diharapkan dapat memberikan manfaat sebagai berikut:

1.      Bagi pembaca memberikan gambaran mengenai model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).

2.      Bagi perpustakaan jurusan pendidikan matematika memberikan tambahan referensi tentang kajian teori antrian.

3.      Bagi instansi dapat dijadikan pertimbangan sebagai dasar pengambilan keputusan dalam pengoptimalan server.

BAB II

LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan diuraikan tentang dasar – dasar yang diperlukan dalam pembahasan model antrian dengan pola kedatangan berkelompok.Pembahasannya mencakup tentang model antrian dengan pola kedatangan secara individu yang berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial.

A. Proses Antrian

1.      Definisi Proses Antrian

Menurut Bronson (1996: 310), proses antrian merupakan proses yang berhubungan dengan kedatangan customer pada suatu fasilitas pelayanan, menunggu panggilan dalam baris antrian jika belum mendapatpelayanan dan akhirnya meninggalkan fasilitas pelayanan setelah mendapat pelayanan. Proses ini dimulai saat customer – customer yang memerlukan pelayanan mulai datang. Mereka berasal dari suatu populasi yang disebut sebagai sumber input. Menurut Hillier dan Lieberman (1980: 401), proses antrian adalah suatu proses yang berhubungan dengan kedatangan customer ke suatu sistem antrian, kemudian menunggu dalam antrian hingga pelayan memilih customer sesuai dengan disiplin pelayanan, dan akhirnya customer meninggalkan sistem antrian setelah selesai pelayanan. Sistem antrian adalah himpunan customer, pelayan, dan suatu aturan yang mengatur kedatangan para customer dan pelayanannya. Sistem antrian merupakan “ proses kelahiran – kematian “ dengan suatu populasi yang terdiri atas para customer yang sedang menunggu pelayanan atau yang sedang dilayani. Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki fasilitas pelayanan, sedangkan kematian terjadi jika customer meninggalkan fasilitas pelayanan. Keadaan sistem adalah jumlah customer dalam suatu fasilitas pelayanan. (Wospakrik, 1996 :302) Gambar

Gambar 2.1 Sistem Antrian

1. KOMPONEN DASAR DALAM PROSES ANTRIAN

Menurut Taha (1997:609), suatu sistem antrian bergantung pada tujuh komponen yaitu pola kedatangan, pola kepergian, kapasitas sistem, desain pelayanan, disiplin pelayanan, ukuran sumber pemanggilan, dan perilaku manusia. Komponen – komponen tersebut diuraikan sebagai berikut.

a. Pola Kedatangan

Menurut Wagner (1972:840), pola kedatangan adalah pola pembentukan antrian akibat kedatangan customer dalam selang waktu tertentu. Pola kedatangan dapat diketahui secara pasti atau berupa suatu variabel acak yang distribusi peluangnya dianggap telahdiketahui. Jika tidak disebutkan secara khusus customer datang secara individu ke dalam sistem antrian. Namun dapat pula lebih dari satu customer datang secara bersamaan ke dalam sistem antrian, pada kondisi ini disebut dengan bulk arrival (Taha, 1997:177).

b. Pola Kepergian

Pola kepergian adalah banyak kepergian customer selama periode waktu tertentu. Pola kepergian biasanya dicirikan oleh waktu pelayanan, yaitu waktu yang dibutuhkan oleh seorang pelayan untuk melayani seorang customer. Waktu pelayanan dapat bersifat deterministik dan dapat berupa suatu variabel acak dengan distribusi peluang tertentu (Bronson, 1996 : 310). Waktu pelayanan bersifat deterministik berarti bahwa waktu yang dibutuhkan untuk melayani setiap customer selalu tetap, sedangkan waktu pelayanan yang berupa variabel acak adalah waktu yang dibutuhkan untuk melayani setiap customer berbeda – beda.

c. Kapasitas Sistem

Menurut Bronson (1996:310), kapasitas sistem adalah banyak maksimum customer, baik customer yang sedang berada dalam pelayanan maupun dalam antrian, yang ditampung oleh fasilitas pelayanan pada waktu yang sama. Suatu sistem antrian yang tidak membatasi banyak customer dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas tak berhingga, sedangkan suatu sistem yang membatasi banyak customer dalam fasilitas pelayanannya disebut sistem berkapasitas berhingga, jika customer memasuki sistem pada saat fasilitas pelayanan penuh maka customer akan ditolak dan meninggalkan sistem tanpa memperoleh pelayanan.

d. Desain Pelayanan

Menurut Sinalungga (2008:249), Desain sarana pelayanan dapat diklasifikasikan dalam channel dan phase yang akan membentuk suatu struktur antrian yang berbeda-beda. Channel menunjukkan jumlah jalur untuk memasuki sistem pelayanan. Phase berarti jumlah stasiun stasiun pelayanan, dimana para langganan harus melaluinya sebelum pelayanan dinyatakan lengkap. Ada empat model struktur antrian dasar yang umum terjadi dalam seluruh sistem antrian: 1. Single Chanel – Single Phase Single Chanel berarti bahwa hanya ada satu jalur untuk.memasuki sistem pelayanan atau ada satu pelayanan. Single phase menunjukkan bahwa hanya ada satu stasiun pelayanan sehingga yang telah menerima pelayanan dapat langsung keluar dari sistem antrian. Contohnya antrian pada penjualan karcis kereta api yang hanya dibuka satu loket.

Gambar

Gambar 2.2 Sistem Antrian Single Channel – Single Phase

2. Single Channel - Multi Phase

Multi phase berarti ada dua atau lebih pelayanan yang dilaksanakn secara berurutan dalam phase-phase. Misalnya pada antrian di laundry, pakaian – pakaian setelah dicuci kemudian dijemur lalu disetrika dan terakhir dikemas.

Gambar 2.3 Sistem Antrian Single Channel - Multi phase

3. Multi Chanel - Single Phase

Sistem multi chanel-single phase terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dialiri oleh suatu antrian tunggal. Sebagai contoh adalah Sarana pelayanan nasabah di Bank.

Gambar 2.4 Sistem Antrian Multi Chanel – Single Phase

4. Multi Chanel - Multi Phase

Sistem ini terjadi jika ada dua atau lebih fasilitas pelayanan dengan pelayanannya lebih dari satu phase. Sebagai contoh adalah pelayanan kepada pasien di rumah sakit dari pendaftaran, diagnosa, tindakan medis sampai pembayaran. Setiap sistem-sistem ini mempunyai beberapa fasilitas pelayanan pada setiap tahap, sehingga lebih dari satu individu dapat dilayani pada suatu waktu.

e. Disiplin Pelayanan

Menurut Sinalungga (2008: 251), disiplin pelayanan adalah suatu aturan yang dikenalkan dalam memilih customer dari barisan antrian untuk segera dilayani. Adapun pembagian disiplin pelayanan ialah:

1. First come first served (FCFS) atau first in first out (FIFO),

suatu peraturan dimana yang akan dilayani ialah customer yang datang terlebih dahulu. Contohnya antrian di suatu kasir sebuah swalayan.

2. Last come first served (LCFS) atau last in first out (LIFO)

merupakan antrian dimana yang datang paling akhir adalah yang dilayani paling awal atau paling dahulu. Contohnya antrian pada satu tumpukan barang digudang, barang yang terakhir masuk akan berada ditumpukkan paling atas, sehingga akan diambil pertama.

3. Service in random order (SIRO) atau pelayanan dalam urutan

acak atau sering dikenal juga random selection for services (RSS), artinya pelayanan atau panggilan didasarkan pada peluang secara random, tidak mempermasalahkan siapa yang lebih dahulu tiba. Contohnya kertas – kertas undian yang menunggu untuk ditentukan pemenangnya, yang diambil secara acak.

4. Priority service (PS), artinya prioritas pelayanan diberikan

kepada mereka yang mempunyai prioritas paling tinggi dibandingkan dengan mereka yang memiliki prioritas paling rendah, meskipun yang terakhir ini sudah lebih dahulu tiba dalam garis tunggu. Kejadian seperti ini bisa disebabkan oleh beberapa hal, misalnya seseorang yang keadaan penyakit yang lebih berat dibanding dengan orang lain dalam sebuah rumah

sakit.

f. Sumber Pemanggilan

Menurut Taha (1996:177), ukuran sumber pemanggilan adalah banyaknya populasi yang membutuhkan pelayanan dalam suatu sistem antrian. Ukuran sumber pemanggilan dapat terbatas maupun tak terbatas. Sumber pemanggilan terbatas misalnya mahasiswa yang akan melakukan registrasi ulang di suatu universitas, dimana jumlahnya sudah pasti. Sedangkan sumber pemanggilan yang tak terbatas misalnya nasabah bank yang antri untuk menabung atau membuka rekening baru, jumlahnya bisa tak terbatas.

g. Perilaku Manusia

Perilaku manusia merupakan perilaku – perilaku yang mempengaruhi suatu sistem antrian ketika manusia mempunyai peran dalam sistem baik sebagai customer maupun pelayan. Jika manusia berperan sebagai pelayan, dapat melayani customer dengan cepat atau lambat sesuai kemampuannya sehingga mempengaruhi lamanya waktu tunggu (Taha, 1996:178).Menurut Gross dan Harris (1998:3), perilaku manusia dalam sistem antrian jika berperan sebagai customer sebagai berikut. 1. Reneging mengGambarkan situasi dimana seseorang masuk dalam antrian, namun belum memperoleh pelayanan, kemudian meninggalkan antrian tersebut.

Balking menggambarkan orang yang tidak masuk dalam antrian dan langsung meninggalkan tempat antrian. Jockeying mengGambarkan situasi jika dalam sistem ada dua atau lebih jalur antrian maka orang dapat berpindah antrian dari jalur yang satu ke jalur yang lain.

A. Notasi Kendall

Notasi baku untuk memodelkan suatu sistem antrian pertama kali dikemukakan oleh D.G.Kendall dikenal sebagainotasi kendall. Namun, A.M. Lee menambahkan simbol menjadi yang disebut notasi kendall-Lee (Taha, 1996:627).

B. Proses Kelahiran dan Kematian (Birth – Death Processes)

Proses kedatangan dan kepergian dalam suatu sistem antrian merupakan proses kelahiran dan kematian (birth – death processes). Kelahiran terjadi jika seorang customer memasuki sistem antrian dan kematian terjadi jika seorang customer meninggalkan sistem antrian tersebut.

C. Distribusi Eksponensial dan Distribusi Poisson

1. Distribusi Eksponensial

Distribusi Eksponensial digunakan untuk mengGambarkan distribusi waktu pada fasilitas jasa, dimana waktu pelayanan tersebut diasumsikan bersifat bebas. Artinya, waktu untuk melayani pendatang tidak bergantung pada lama waktu yang telah dihabiskan untuk melayani pendatang sebelumnya, dan tidak bergantung pada jumlah pendatang yang menunggu untuk dilayani.( Djauhari, 1997:175-176 ).

2. Distribusi Poisson

Suatu eksperimen yang menghasilkan jumlah sukses yang terjadi pada interval waktu ataupun daerah yang spesifik dikenal sebagai eksperimen Poisson. Interval waktu tersebut dapat berupa menit, hari,minggu, bulan, maupun tahun, sedangkan daerah yang spesifik dapat berarti garis, luas, sisi, maupun material. ( Dimyati, 1999:309 ) Menurut Dimyati, (1999:309) ciri-ciri eksperimen Poisson adalah :

a.       Banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu selang waktu atau suatu daerah tertentu bersifat independen terhadap banyaknya hasil percobaan yang terjadi pada selang waktu atau daerah lain yang terpisah.

b.      Peluang terjadinya satu hasil percobaan selama suatu selang waktu yang singkat sekali atau dalam suatu daerah yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu tesebut atau besarnya daerah tersebut.

I. Ukuran Keefektifan Sistem Antrian

Menurut Taha (1997, 189:190), ukuran keefektifan suatu sistem antrian dapat ditentukan setelah probabilitas steady state diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan suatu sistem tersebut antara lain:

1)      Nilai harapan banyaknya customer dalam sistem antrian

2)      Nilai harapan banyaknya customer dalam antrian

3)      Nilai harapan waktu tunggu dalam sistem antrian

4)      Nilai harapan waktu tunggu dalam antrian

Sebelum membahas lebih lanjut, akan diuraikan lima definisi yang mendukung pembahasan ukuran keefektifan suatu sistem.Jumlah customer dalam sistem adalah jumlah customer dalam antrian ditambah jumlah customer yang sedang mendapat layanan.Laju kedatangan efektif merupakan laju kedatangan rata – rata dalam waktu yang panjang. Laju kedatangan efektif dinotasikan .

Model Antrian (M/M/k)

Sebagai dasar dalam pembahasan model antrian (M/M/k)akan dibahas terlebih dahulu model antrian (M/M/k)

1. Solusi Steady-State untuk Model (M/M/k)

Sistem antrian (M/M/k)merupakan model antrian satu sever dengan kedatangan berdistribusi Poisson dan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Model ini merupakan model tanpa batas.

kapasitas baik dari kapasitas sistem maupun kapasitas sumber pemanggilan. Aturan pelayanannya bersifat FCFS, yaitu customer yang datang pertama dilayani terlebih dahulu begitu seterusnya. Notasi sistem antrian ini berdasarkan dengan notasi Kendall-Lee.Jika kedatangan customer mengikuti distribusi Poisson dengan laju , maka dari asumsi (i) probability sebuah kedatangan terjadi , dan berdasarkan asumsi (v).

BAB III

PEMBAHASAN

Dalam makalah ini akan dibahas tentang keefektifan sistem antrian multiserver dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival).

A. Pola Kedatangan Berkelompok ( Batch Arrival )

Sebagai contoh situasi pada sistem antrian dimana customer dating secara berkelompok yaitu kedatangan customer secara berkelompok disebuah restoran, dan surat – surat yang tiba di kantor pos. Ilustrasi sistem antrian dengan pola kedatangan berkelompok ( batch arrival ) terlihat dalam

Pada sistem antrian ini customer datang secara berkelompok dengan ukuran kelompok tersebut adalah _, dimana secara umum _ adalah variable acak positif. Pada pembahasan ini, customer datang berdasarkan distribusi Poisson dengan laju kedatangan , dan terdapat sebuah server yang memiliki waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial dengan laju pelayanan , dimana customer dilayani secara individu dengan disiplin antrian FIFO ( First In First Out ). Desain pelayanan pada sistem antrian ini adalah Single Channel Single Phase. Notasi untuk model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok (batch arrival ) tersebut.

A.Proses Kedatangan dan Kepergian pada Sistem Antrian M/M/k

Pada sistem antrian dengan pola kedatangan berkelompok ( batch arrival ), ukuran suatu kelompok yang masuk kedalam suatu sistem antrian merupakan variabel acak positif _, dengan fungsi peluang kedatangan suatu kelompok berukuran  adalah Karena proses kedatangan pada sistem antrian dengan pola kedatangan berkelompok mengikuti distribusi Poisson dengan banyaknya kedatangan tiap satuan waktu. Dan setiap kedatangan tersebut berukuran __, maka banyaknya kedatangan tiap satuan waktu pada sistem antrian M/M/k ini adalah Laju transisi untuk sistem antrian M/M/k dapat dilihat dalam

B. Solusi Steady state Model Antrian m/m/k

Kondisi steady state yaitu keadaan sistem yang tidak tergantung pada keadaan awal maupun waktu yang telah dilalui. Jika suatu sistem antrian telah mencapai kondisi steady state maka peluang terdapat * customer dalam sistem pada waktu t, yang dinotasikan dengan m/m/k tidak tergantung pada waktu.

C. Ukuran Keefektifan Sistem Antrian m/m/k

Ukuran keefektifan suatu sistem antrian batch arrival dapat ditentukan setelah PGF dari O diketahui. Ukuran – ukuran keefektifan dari suatu sistem antrian tersebut adalah banyak customer dalam sistem/ef, banyak customer yang menunggu dalam antrian/eg, waktu tunggu setiap customer dalam 70 sistem/hf, waktu tunggu setiap customer dalam antrian/hg, dan persentase pemanfaatan sarana pelayanan/ij. Ukuran – ukuran keefektifan tersebut dapat digunakan untuk menganalisis operasi situasi antrian, yang dimaksudkan untuk pembuatan rekomendasi tentang rancangan sistem tersebut.

1. Nilai Harapan Banyak Customer dalam Sistem

Nilai harapan banyak customer dalam sistem antrian merupakan jumlah keseluruhan dari perkalian customer dalam sistem dan probabilitasnya,

D. Implementasi

Agar lebih memahami tentang model antrian m/m/k diberikan contoh penerapan soal sebagai berikut. Sebagai ilustrasi penulis memberikan Gambaran penerapan model antrian pada situasi antrian yang terjadi di sebuah kantor pajak. Data yang diolah adalah data yang dibangun dengan software minitab yang distribusi kedatangannya memenuhi distribusi Poisson dan waktu pelayanannya memenuhi distribusi Eksponensial. Dengan rata – rata laju kedatangan

LATUHAN

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, silakan anda menge erjakan latihan berikut ini ! .

1.      Sebutkan tiga k omponen yang terdapat dalam sistem antrian?

2.      Jelaskan karakteristik dari setiap komponen dalam sistem antrian

3.      Jelaskan jenis biaya dalam kaitannya dengan sistem antrian.

4.      jelaskan perbedaan antara disiplin antrian, prioritas yang preem dan non preemptive

5.      berikan contoh dalam kehidupan sehari-hari yang menggambarkan keempat desain sistem antrian

RANGKUMAN

Dalam sistem antrian terdapat tiga komponen utama yaitu:kedatanga populasi yang akan dilayani, antrian, dan fasilitas pelayanan. Setiap komponen memiliki karakteristik yang berbeda.

 Desain tata letak dalam sistem antrian bias dibedakan menjadi empat yaitu single channel single server, single channel multi server, multi channel single server, dan multi channel multi server.

 Tujuan dari sistem antrian adalah meminimalakan biaya total yang merupakan penjumlahan dari biaya yang timbul karena menunggu dan biaya yang timbul karena menambah fasilitas layanan.

BAB IV

SIMPULAN DAN SARAN

A. Kesimpulan

Model antrian satu server dengan pola kedatangan berkelompok ( batch arrival ) dinotasikan dengan m/m/k dengan X adalah variabel acak yang menyatakan ukuran kelompok yang masuk ke dalam sistem antrian. Model tersebut menggambarkan sistem antrian dengan pola kedatangan customer secara berkelompok yang berdistribusi Poisson, dan pelayanan customer secara individu dengan waktu pelayanan berdistribusi Eksponensial. Dasar untuk menganalisis model antrian dengan pola kedatangan berkelompok adalah dengan menentukan probability generating function ( PGF ) dari banyak customer dalam sistem.

A. Saran

Dari hasil pengkajian model antrian multiserver dengan pola kedatangan berkelompok dapat dikembangkan lebih lanjut sampai dengan tingkat pengambilan keputusan, misalnya dengan model biaya. Selain itu juga dapat dikembangkan model antrian dengan pola kedatangan berkelompok multi server, serta variasi model m/m/k , m/m/k.k.k , g/m/k , m/g/k yang lain seperti model antrian dengan pola pelayanan berkelompok (batch service), dan model antrian dengan pola kedatangan dan pola pelayanan berkelompok (bulk queue), serta model antrian dengan prioritas pelayanan, yang merupakan salah satu bentukdari disiplin pelayanan.

DAFTAR PUSTAKA

1.      Bain, L, & Engelhardt. (1992). Introduction to Probability and Mathematical Statistics. California: Wadsworth Publishing Company.

2.      Barte, R. G, & Sherbert, D. R. (2000). Introduction to Real Analysis. New York: John Wiley & Sons.

3.      Bhat, N. U. (1984). Element of Applied Stochastic Processes. 2nd. ed. New York: John Wiley & Sons.

4.      Bronson, R. (1996). Teori dan Soal-Soal Operations Research. (Terjemahan Hans Wospakrik). Jakarta: Erlangga.

5.      Bunday, B. D. (1996). An Introduction to Queuing Theory. New York: John Wiley & Sons.

6.      Chaudhury, M. L.(1983). A First Course in Bulk Queue. New York: John Wiley & Sons.

7.      Cooper, R. B. (1981). Introduction to Queuing Theory. 2nd. ed. New York: Eleseveir North Holland, Inc.

8.      Dharma, J. L. (2001). Model Antrian MH/G/1. Bandung: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Katolik Parahyangan.

9.      Dimyati, A, & Tarliyah, T. (1999). Operation Research “Model-Model Pengambilan Keputusan”. Bandung: PT Sinar Baru Algesindo.

10.  Djauhari, M. (1997). Statistika Matematika. Bandung: Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, ITB.

11.  Ecker, J, & Kupferschimd, M. (1988). Introduction to Operation Research. New York: John Wiley & Sons.

12.  Gross, D, & Harris, C. M. (1998). Fundamental of Queuing Theory 3rd. New York: John Wiley & Sons.

13.  Hadianti, R. (2006). Kapita Selekta Terapan I (Teori Antrian). Bandung: ITB.Hillier, F.S, & Lieberman, G. J. (2005). Introduction to Operations Research. New York: McGraw-Hill.

14.  Hines, W. W, & Montgomery, D. C. (1990). Probability and Statistics in Engineering and Management Science. New York: John Wiley & Sons.

15.  Hogg, R. V, & Tanis, E. A. (2001). Probability and Statistical Inference. 6th. ed. New Jersey: